Question

已知向量

m

=(sinx，

3

sinx)，

n

=(sinx，-cosx)，设函数f(x)=

m

•

n

，若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称．
（Ⅰ）求函数g（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最大值，并求出此时x的取值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(

A

2

-

π

12

)+g(

π

12

+

A

2

)=-

3

，b+c=7，bc=8，求边a的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由向量的数量积运算求得f（x）的解析式，化简后取x=-x，y=-y求得g（x）的解析式，则函数g（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最大值及取得最大值时的x的值可求；
（Ⅱ）由f(

A

2

-

π

12

)+g(

π

12

+

A

2

)=-

3

求得角A的正弦值，利用同角三角函数的基本关系求得角A的余弦值，在利用余弦定理求边a的长．

解答： 解：（Ⅰ）由向量

m

=(sinx，

3

sinx)，

n

=(sinx，-cosx)，且f(x)=

m

•

n

，
得，f(x)=sin2x-

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x=

1

2

-sin(2x+

π

6

)，
∴g(x)=-

1

2

-sin(2x-

π

6

)．
∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，
∴2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

6

]，
∴当2x-

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

6

时，
函数g（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最大值为

1

2

；
（Ⅱ）∵g(x)=-

1

2

-sin(2x-

π

6

)，f(x)=

1

2

-sin(2x+

π

6

)，
由f(

A

2

-

π

12

)+g(

π

12

+

A

2

)=-

3

，得
-sinA-sinA=-

3

，
∴sinA=

3

2

．
又∵0＜A＜π，解得：cosA=

1

2

或cosA=-

1

2

，
由题意知：bc=8，b+c=7，
∴a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=33-16cosA，
则a²=25或a²=41，
故所求边a的长为5或

41

．

点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了三角函数的对称变换，训练了余弦定理的应用，是中档题．