Question

某电视台举办“青工技能大赛”，比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全解决方可进入下一关，第三关有三个问题，只要解决其中的两个问题，则闯关成功．每过一关可依次获得100分、300分、500分的积分．小明对三关中每个问题正确解决的概率依次为

4

5

、

3

4

、

2

3

，且每个问题正确解决与否相互独立．
（Ⅰ）求小明通过第一关但未过第二关的概率；
（Ⅱ）用X表示小明的最后积分，求X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设事件A=“小明通过第一关但未过第二关”，第一关第i个问题正确解决为事件A_i（i=1，2），第二关第i个问题正确解决为事件B_i（i=1，2），由P（A）=P（A₁）•P（A₂）•（1-P（B₁）•P（B₂））能求出小明通过第一关但未过第二关的概率．
（Ⅱ）由题意知：X∈{0，100，400，900}．分别求出其对应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）设事件A=“小明通过第一关但未过第二关”，
第一关第i个问题正确解决为事件A_i（i=1，2），
第二关第i个问题正确解决为事件B_i（i=1，2），
则P(A1)=P(A2)=

4

5

，P(B1)=P(B2)=

3

4

．
又∵A=A1•A2•(

.

B1

•

.

B2

+B1•

.

B2

+

.

B1

•B2)，
∴P（A）=P（A₁）•P（A₂）•（1-P（B₁）•P（B₂））
=(

4

5

)2×[1-(

3

4

)2]=

7

25

．…（5分）
（Ⅱ）由题意知：X∈{0，100，400，900}．
P(X=0)=1-(

4

5

)2=

9

25

，P(X=100)=

7

25

．…（7分）P(X=400)=(

4

5

)2×(

3

4

)2×[(

1

3

)3+

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2]=

7

75

，
P(X=900)=1-

9

25

-

7

25

-

7

75

=

4

15

．…（9分）
∴X的分布列为

X	0	100	400	900
P	9 25	7 25	7 75	4 15

E(X)=0×

9

25

+100×

7

25

+400×

7

75

+900×

4

15

=

916

3

． …（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．