Question

已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y²=2px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y=

3

x，△AOB的面积为6

3

，求该抛物线的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：将直线OA，OB的方程与抛物线方程联立，求出A，B的坐标，利用△AOB的面积为

63

，即可求该抛物线的方程．

解答： 解：∵OA所在直线的方程为y=

3

x，
∴OB所在直线的方程为y=-

3

3

x，
分别与抛物线方程联立，可得y_A=

2 3

3

p，y_B=-2

3

p，
∴A（

2

3

p，

2 3

3

p），B（6p，-2

3

p），
∴OA=

4

3

p，OB=4

3

p，
∴S_△AOB=

1

2

•OA•OB=

1

2

•

4

3

p•4

3

p=6

3

，
∴p=

3

2

，
∴抛物线的方程为y²=3x．
同理y²=-3x也满足．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线方程，考查三角形面积的计算，属于中档题．