Question

已知函数f（x）=-sin2x-

3

（1-2sin²x）+1．
（1）求f（x）的最小正周期及其单调减区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

6

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为-2sin（2x+

π

3

）=1，由此可得函数的最小正周期．函数f（x）的减区间，即为y=sin（2x+

π

3

）的增区间．令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即为所求．
（2）根据x∈[-

π

6

，

π

6

]，利用正弦函数的定义域和值域求得sin（2x+

π

3

）的范围，可得f（x）的值域．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=-sin2x-

3

（1-2sin²x）+1=-sin2x-

3

cos2x+1=-2sin（2x+

π

3

）=1．
故函数的最小正周期

2π

2

，函数f（x）的减区间，即为y=sin（2x+

π

3

）的增区间．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，
可得函数f（x）的减区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（2）因为x∈[-

π

6

，

π

6

]，所以，2x+

π

3

∈[0，

2π

3

]，所以，sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，
所以，f（x）=-2sin（2x+

π

3

）+1∈[-1，1]，所以，f（x）的值域为[-1，1]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．