Question

一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x-y-4=0所得的弦长为3

5

，求抛物线的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设抛物线方程为y²=2px（p≠0），将直线方程y=2x-4代入，并整理，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求抛物线的方程．

解答： 解：设抛物线方程为y²=2px（p≠0），
将直线方程y=2x-4代入，并整理得2x²-（8+p）x+8=0．
设方程的两个根为x₁，x₂，则根据韦达定理有x₁+x₂=

8+p

2

，x₁x₂=4．
由弦长公式，得（3

5

）²=（1+2²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
即9=（

8+p

2

）²-16．
整理得p²+16p-36=0，
解得p=2，或p=-18，此时△＞0．
故所求的抛物线方程为y²=4x，或y²=-36x．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的弦长计算，属于中档题．