Question

如图，在三棱锥V-ABC中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，VA=

3

AC，点E为VC的中点．
（Ⅰ）求证：平面VBA⊥平面VBC；
（Ⅱ）求直线BE与平面ABC所成的角．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由题意知VA⊥AB，VA⊥AC，可得VA⊥平面ABC，可证VA⊥BC；又∠ABC=90°可得AB⊥BC，这样可证得BC⊥平面VBA，从而可证面面垂直；
（Ⅱ）由E点为VC的中点，可想过E作VA的平行线EF，由VA⊥AC可知EF⊥AC，从而找到BE在面ABC内的射影，得到线面角，通过解直角三角形求解角．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠VAB=∠VAC=90°，∴VA⊥AB，VA⊥AC，又AB∩AC=A，
∴VA⊥平面ABC．∴VA⊥BC．
∠ABC=90°，∴AB⊥BC，VA∩VB=V，
∴BC⊥平面VBA．又BC?平面VBC，
∴平面VBA⊥平面VBC．
（Ⅱ）过点E作EF⊥AC于点F，连接BF，则EF∥VA．
VA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
∴∠EBF为BE与平面ABC所成的角．
∵点E为VC的中点，∴点F为AC的中点．
∴BF=

1

2

AC，EF=

1

2

VA．
在Rt△EFB中，由tan∠EBF=

EF

BF

=

VA

AC

=

3

，∴∠EBF=60°，
∴直线BE与平面ABC所成的角为60°．

点评：本题考查了面面垂直，考查了空间线面角的找法与计算，是中档题．