Question

己知f（x）=x²+alnx的图象上任意不同两点连线的斜率大于2，那么实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，由导数的几何意义结合已知得到2x+

a

x

≥2，变形后分离参数a，然后利用配方法求最值，从而得到a的范围．

解答： 解：由f（x）=x²+alnx，得f′(x)=2x+

a

x

（x＞0），
∵f（x）=x²+alnx的图象上任意不同两点连线的斜率大于2，
由导数的几何意义得，2x+

a

x

≥2，
2x²-2x+a≥0，
∴a≥-2(x-

1

2

)2+

1

2

．
∵-2(x-

1

2

)2+

1

2

≤

1

2

，
∴a≥

1

2

才能满足任意两点不同两点连线的斜率大于2，
∴实数a的取值范围是[

1

2

，+∞）．
故答案为：[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了导数的几何意义，训练了利用分离变量法求参数的范围问题，是中档题．