Question

方程sinπx=[ 

x

2

-[ 

x

2

 ]+

1

2

 ]在区间[0，π]内的所有实根之和为

 

．（符号[x]表示不超过x的最大整数）．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：根据[x]的定义分别讨论x的取值，利用条件求出方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]在区间[0，π]内的所有实数根，即可得到结论．

解答： 解：①若0≤x＜1，则0≤

x

2

＜

1

2

，[

x

2

]=0，

1

2

＜

x

2

+

1

2

＜1，则

x

2

-[

x

2

]+

1

2

=

x

2

+

1

2

∈（

1

2

，1），∴[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=0．
此时方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=0，此时x=0．
②若1≤x＜2，则

1

2

≤

x

2

＜1，[

x

2

]=0，1≤

x

2

+

1

2

＜

3

2

，则

x

2

-[

x

2

]+

1

2

=

x

2

+

1

2

∈[1，

3

2

），∴[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=1．
此时方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=1，在[1，2）上无解．
③若2≤x＜3，则1≤

x

2

＜

3

2

，[

x

2

]=1，

x

2

+

1

2

-[

x

2

]=

x

2

+

1

2

-1=

x

2

-

1

2

∈[

1

2

，1），∴[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=0．
此时方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=0，在[2，3）上，x=2．
④若3≤x≤π，则

3

2

≤

x

2

≤

π

2

，[

x

2

]=1，

x

2

+

1

2

-[

x

2

]=

x

2

+

1

2

-1=

x

2

-

1

2

∈[1，

π-1

2

]，∴[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=1．
此时方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]=1，在[3，π）上，方程无解．
综上：x=0或x=2是方程的根，
∴方程sinπx=[

x

2

-[

x

2

]+

1

2

]在区间[0，π]内的所有实数根之和为0+2=2．
故答案为：2．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，正确理解[x]的意义是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．