Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若b、c满足c≥

b2

4

+1，且f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，则M的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：依题意知，c≥|b|，当c＞|b|时，有M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

=

c+2b

b+c

，令t=

b

c

，

c+2b

b+c

=2-

1

1+t

，构造函数g（t）=2-

1

1+t

（-1＜t＜1），易求其值域，从而可得M的取值集合；
当c=|b|时，可证f（c）-f（b）≤

3

2

（c²-b²）恒成立，从而可得答案．

解答： 解：∵c≥

b2

4

+1≥2×

|b|

2

×1知，c≥|b|，
当c＞|b|时，有M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

=

c2-b2+bc-b2

c2-b2

=

c+2b

b+c

，
令t=

b

c

，则-1＜t＜1，

c+2b

b+c

=2-

1

1+t

，
∵函数g（t）=2-

1

1+t

（-1＜t＜1）为增函数，
∴该函数的值域是（-∞，

3

2

）；
∴当c＞|b|时，M的取值集合为[

3

2

，+∞）；
当c=|b|时，由c≥

b2

4

+1知，b=±2，c=2，此时f（c）-f（b）=-8或0，
c²-b²=0，从而f（c）-f（b）≤

3

2

（c²-b²）恒成立；
综上所述，M的最小值为

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查分类讨论思想与等价转化思想、构造函数思想，考查创新思维与综合分析、运算能力，属于难题．