Question

已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，若在区间（0，1）内任取两个不同实数m，n，不等式

f(m+1)-f(n+1)

m-n

＜1恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由于

f(m+1)-f(n+1)

m-n

表示点（m+1，f（m+1）） 与点（n+1，f（n+1））连线的斜率，故函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率小于1，故有 f′（x）=

a

x+1

-2x＜1 在（1，2）内恒成立，即 a＜2x²+3x+1在（1，2）内恒成立，由此求得a的取值范围．

解答： 解：由于

f(m+1)-f(n+1)

m-n

=

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

，则表示点（m+1，f（m+1）） 与点（n+1，f（n+1））连线的斜率，因实数p，q在区间（0，1）内，故m+1和n+1在区间（1，2）内．
∵不等式

f(m+1)-f(n+1)

m-n

=

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

，恒成立，
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率小于1，
故函数的导数小1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＜1 在（1，2）内恒成立．
即 a＜2x²+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故 x=1时，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最小值为6，
∴a≤6，
故答案为：a≤6．

点评：本题考查斜率公式的应用，考查函数的恒成立问题，将函数恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法．