Question

若关于x的不等式x²+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，且函数y=ax³+mx²+x+

c

2

在区间(

1

2

，1)上不是单调函数，则实数m的取值范围为（　　）

• A、（-2，-

  3

  ）
• B、[-2，-

  3

  ]
• C、（-∞，-2）∪（

  3

  ，+∞）
• D、（-∞，-2]∪[-

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,一元二次不等式的应用

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：根据关于x的不等式x²+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，求出a，c可得函数解析式，利用函数y=ax³+mx²+x+

c

2

在区间(

1

2

，1)上不是单调函数，可得y′=3x²+2mx+m=0（*）在区间(

1

2

，1)上有解，且不是重解．构造函数，求导函数，确定函数的值域，即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：∵关于x的不等式x²+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，
∴

-2+1=-a (-2)•1=-c

，
∴a=1，c=2，
∴y=ax³+mx²+x+

c

2

=x³+mx²+x+1，
∴y′=3x²+2mx+1
∵函数y=ax³+mx²+x+

c

2

在区间(

1

2

，1)上不是单调函数，
∴y′=3x²+2mx+m=0（*）在区间(

1

2

，1)上有解，且不是重解．
由3x²+2mx+m=0可得2m=-3x-

1

x

令f（x）=-3x-

1

x

，

1

2

＜x＜1
f'（x）=-3+

1

x2

，令f'（x）=0得：x=

3

3

，
x∈（

1

2

，

3

3

）时，f'（x）＞0，f（x）递增
x∈（

3

3

，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减
∴f（x）_max=f（

3

3

）=-2

3

∵f（1）=-4，f（

1

2

）=-

7

2

∴f（x）的值域为（-4，-2

3

]
∴2m∈（-4，-2

3

]
∴m∈（-2，-

3

]
但当m=-

3

时，（*）中△=0，有2个相等的根，不合题意
∴m的范围是（-2，-

3

）．
故选A．

点评：本题考查一元二次不等式的运用，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用导数求出函数的值域是关键．