Question

若对任意的正数x使2^x（x-a）≥1成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式转化为a≤x-2^-x，在x＞0上恒成立，然后利用函数的单调性求出函数的取值范围即可得到结论．

解答： 解：不等式2^x（x-a）≥1等价为x-a≥2^-x，
即a≤x-2^-x，在x＞0上恒成立，
设f（x）=x-2^-x=x-（

1

2

）^x在x≥0时为增函数，
∴f（x）＞f（0）=-1，
即x-2^-x＞-1，
∴要使a≤x-2^-x，在x＞0上恒成立，
则a≤-1，
故a的取值范围是（-∞，-1]．
故答案为：（-∞，-1]．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式进行转化，利用参数分离法是解决此类问题的基本方法．