Question

如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=-x³+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e^x+1；④f（x）=

ln|x|，x≠0 0，x=0

．以上函数是“H函数”的所有序号为

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①y=-x³+x+1；y'=-3x²+1，则函数在定义域上不单调．
②y=3x-2（sinx-cosx）；y’=3-2（cosx+sinx）=3-2

2

sin（x+

π

4

）＞0，函数单调递增，满足条件．
③y=e^x+1为增函数，满足条件．
④f（x）=

ln|x|，x≠0 0，x=0

．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为②③，
故答案为：②③．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．