Question

若对于任意x∈（0，3e]恒有（x-a）²lnx≤4e²成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）=（x-a）²lnx的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范围．

解答： 解：①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e²成立，
②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²，
解得3e-

2e

ln?3e

≤a≤3e+

2e

ln?3e

，
设f（x）=（x-a）²lnx，
则f′（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

=（x-a）（2lnx+1-

a

x

），
令h（x）=2lnx+1-

a

x

，
则h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-

a

3e

≥2ln3e+1-

3e+ 2e ln3e

3e

=2（ln3e-

1

3 ln?3e

）＞0
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，
∴函数h（x）在（0，+∞）内有唯一零点，
记此零点为x₀
则1＜x₀＜3e，1＜x₀＜a，
从而当x∈（0，x₀）时，f′（x）＞0，
当x∈（x₀，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x₀）内是增函数，
在（x₀，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数
∴要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立只要有：

f(x0)=(x0-a)2ln?x0≤4e2 f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2

，
有h（x₀）=2lnx₀+1-

a

x0

=0，
得a=2x₀lnx₀+x₀，
将它代入f（x₀）=（x₀-a）2lnx₀≤4e²得4x₀²ln³x₀≤4e²
又x₀＞1，注意到函数4x²ln³x在（1，+∞）上是增函数，故1＜x₀≤e，
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e，
由f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²解得3e-

2e

ln?3e

≤a≤3e+

2e

ln?3e

，
∴得3e-

2e

3 ln?3e

≤a≤3e，
综上，a的取值范围为3e-

2e

3 ln?3e

≤a≤3e．
故答案为：3e-

2e

3 ln?3e

≤a≤3e．

点评：本题考查函数的极值的概念，导数运算法则，导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力，解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间讨论导函数的符号，得到原函数的单调性，本题属于难题．