Question

已知双曲线

x2

16

-

y2

4

=1的两焦点为F₁、F₂．
（1）若点M在双曲线上，且

MF1

•

MF2

=0，求M点到x轴的距离；
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点（3

2

，2），求双曲线C的方程．

Answer 1

考点：双曲线的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由

MF1

•

MF2

=0，知MF₁⊥MF₂，可知点M在以F₁F₂为直径的圆x²+y²=20上，与

x2

16

-

y2

4

=1联立，消去x，可得点M到x轴的距离；
（2）设双曲线C的方程为

x2

16+λ

-

y2

4-λ

=1，（16+λ＞4-λ＞0），代入（3

2

，2），求出λ，可得双曲线C的方程．

解答： 解：（1）已知双曲线

x2

16

-

y2

4

=1的焦点为F₁（-2

5

，0），F₂（2

5

，0）．
∵

MF1

•

MF2

=0，
∴MF₁⊥MF₂，
∴点M在以F₁F₂为直径的圆x²+y²=20上，
与

x2

16

-

y2

4

=1联立，消去x，可得

20-y2

16

-

y2

4

=1
∴得|y|=

2 5

5

，
∴点M到x轴的距离为

2 5

5

，
（2）设双曲线C的方程为

x2

16+λ

-

y2

4-λ

=1，（16+λ＞4-λ＞0）
代入（3

2

，2），可得

18

16+λ

-

4

4-λ

=1，
∴λ=-4，
∴双曲线C的方程为

x2

12

-

y2

8

=1．

点评：本题考查双曲线的性质及其应用，考查圆与双曲线的位置关系，考查双曲线方程，正确设出双曲线方程是关键．