Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（2-x）+f（2+x）=0恒成立．如果实数m，n满足不等式

n≥4 f(m2-6m+25)+f(n2-8n)≤0

，那么m²+n²+2m-2n的取值范围是（　　）

• A、[11，47]
• B、[11，39]
• C、[7，47]
• D、[7，11]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：依题意知，y=f（x）关于（2，0）对称，f（n²-8n）≤f（21+6m-m²），利用f（x）是定义在R上的增函数⇒（m-3）²+（n-4）²≤4，又n≥4，动点P（m，n）在以（3，4）为圆心，2为半径的上半圆面，利用所求关系式的几何意义即可求得答案．

解答： 解：∵f（2-x）+f（2+x）=0，
∴y=f（x）关于（2，0）对称，
∴f（m²-6m+25）=-f[4-（m²-6m+25）]=-f（21+6m-m²），
∵f（m²-6m+25）+f（n²-8n）≤0，
∴-f（21+6m-m²）≤-f（n²-8n），
∴f（n²-8n）≤f（21+6m-m²），
又f（x）是定义在R上的增函数，
∴n²-8n≤21+6m-m²，
∴（m-3）²+（n-4）²≤4，
又n≥4，
∴动点P（m，n）在以（3，4）为圆心，2为半径的上半圆面；
又m²+n²+2m-2n=（m+1）²+（n-1）²-2，其几何意义为动点P到定点（-1，1）的距离的平方与2之差，作图如下：

由图知，动点P位于坐标为（1，4）的点A时，PC²最小，又AC²=[1-（-1）]²+（4-1）²=13，
∴m²+n²+2m-2n的最小值为：AC²-2=13-2=11；
当PC经过圆心O′（3，4）时，PC²最大，又CO′²=[3-（-1）]²+（4-1）²=25，
∴CO′=5，
∴PC=5+2=7，
∴PC²=49，
∴m²+n²+2m-2n的最大值为：PC²-2=49-2=47．
∴m²+n²+2m-2n的取值范围是[11，47]．
故选：A．

点评：本题考查函数恒成立问题，求得（m-3）²+（n-4）²≤4是关键，也是难点，考查等价转化思想、数形结合思想的综合运用，考查创新思维、逻辑思维与运算能力，属于难题．