Question

已知函数 f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．若对任意的实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A、0＜k≤3
• B、1≤k≤4
• C、-

  1

  2

  ≤k≤3
• D、-

  1

  2

  ≤k≤4

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据分数函数的特点，将函数进行化简，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于k的不等式，求出各种情况下实数k的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数k的取值范围．

解答： 解：f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=

2x+2-x+k

2x+2-x+1

，
令2^x+2^-x=t，则t≥2，
则函数等价为g（t）=

t+k

t+1

=1+

k-1

t+1

，（t≥2），
则原题等价为对于t≥2，
[2g（t）]_min≥[g（t）]_max恒成立，
①当k=1时，显然成立；
②当k＜1时，

k+2

3

≤f(t)＜1，
由2（

k+2

3

）≥1，得-

1

2

≤k＜1；
③当k＞1时，1＜f（t）≤

k+2

3

，
由2×1≥

k+2

3

，得1＜k≤4，
综上；实数k的取值范围是[-

1

2

，4]．
故选：D．

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，指数函数的性质，反比例函数的图象和性质，其中利用换元思想及基本不等式将函数进行转化是解答的关键．