Question

已知点F（-c，0）（c＞0）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x²+y²=c²交于点P，且点P在抛物线y²=4cx上，则e²=（　　）

• A、

  3+ 5

  2

• B、

  5

• C、

  5 -1

  2

• D、

  1+ 5

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的性质即可得出．

解答： 解：如图，设抛物线y²=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，
设双曲线的右焦点为F′，P（x，y）．
由题意可知FF′为圆x²+y²=c²的直径，
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=

b

a

，|FF′|=2c，
满足

y2=4cx① x2+y2=c2② y x+c = b a ③

，
将①代入②得x²+4cx-c²=0，
则x=-2c±

5

c，
即x=（

5

-2）c，（负值舍去）
代入③，即y=

bc( 5 -1)

a

，再将y代入①得，

b2

a2

=

4( 5 -2)

( 5 -1)2

=e²-1
即e²=1+

4 5 -8

6-2 5

=

5 +1

2

．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的性质，掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键．