Question

已知点A（1，a），圆：x²+y²=4．
（1）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
（2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）由过点A的圆的切线只有一条，说明点A在圆上，把A的坐标代入圆的方程，求得a值，求出圆心和切点连线的斜率，则切线斜率可求，由点斜式求得切线方程；
（2）设出直线方程的截距式，代入点的坐标，然后由圆心到直线的距离等于半径求得a值，把a值代回切线方程得答案．

解答： 解：（1）∵过点A（1，a）的圆的切线方程只有一条，则点A在圆x²+y²=4上，
∴1²+a²=4，解得：a=±

3

．
当a=-

3

时，切点A（1，-

3

），kOA=-

3

，切线的斜率为

3

3

，切线方程为y+

3

=

3

3

(x-1)，
整理得，x-

3

y-4=0；
当a=

3

时，切点A（1，

3

），kOA=

3

，切线的斜率为-

3

3

，切线方程为y-

3

=-

3

3

(x-1)，
整理得，x+

3

y-4=0；
（2）由题意设切线方程为x+y=m，则1+a=m，∴直线方程为x+y-a-1=0，
由圆心（0，0）到切线的距离等于半径得：

|-a-1|

2

=2，解得a=-1-2

2

或a=-1+2

2

．
当a=-1-2

2

时，切线方程为：x+y+2

2

=0；
当a=-1+2

2

时，切线方程为：x+y-2

2

=0．

点评：本题考查了圆的切线方程的求法，涉及圆的切线方程为题，常用圆心到切线的距离等于圆的半径解决，是中档题．