Question

已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（Ⅰ）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）当a=1，b=1时，若f(2x)=

5

4

，求x的值；
（Ⅲ）若b＜-1，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,探究型,分类讨论,转化思想

分析：（Ⅰ）把a=1，b=0代入函数解析式，直接举反例说明函数f（x）为非奇非偶函数；
（Ⅱ）把a=1，b=1代入函数解析式，在函数解析式中，取x=2^x，然后分类去绝对值，求解关于2^x 的方程后得答案；
（Ⅲ）在b＜-1的前提下，当x=0时对于任意实数a不等式f（x）＜0恒成立，在x∈（0，1]时，把不等式恒成立转化为x+

b

x

＜a＜x-

b

x

，由单调性求得左侧函数的最大值和右侧函数的最小值得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）a=1，b=0时，f（x）=x|x-1|既不是奇函数也不是偶函数，
∵f（-1）=-2，f（1）=0，
∴f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），
∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
（Ⅱ）当a=1，b=1时，f（x）=x|x-1|+1，
由f(2x)=

5

4

，得2x|2x-1|+1=

5

4

，
即

2x≥1 (2x)2-2x- 1 4 =0

①
或

2x＜1 (2x)2-2x+ 1 4 =0

②
解①得，2x=

1+ 2

2

或2x=

1- 2

2

（舍），
解②得，2x=

1

2

．
∴x=log2

1+ 2

2

=log2(1+

2

)-1或x=-1；
（Ⅲ）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x-a|＜

-b

x

，
即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

，
故(x+

b

x

)max＜a＜(x-

b

x

)min，x∈(0，1]，
又函数g(x)=x+

b

x

在（0，1]上单调递增，
∴(x+

b

x

)max=g(1)=1+b，
对于函数h(x)=x-

b

x

，x∈(0，1]．
b＜-1时，在（0，1]上h（x）单调递减，(x-

b

x

)min=h(1)=1-b，
又1-b＞1+b，
∴此时a的取值范围是（1+b，1-b）．

点评：本题考查恒成立问题，考查了函数奇偶性的判断，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，对于（Ⅲ）的求解，明确b是具体常数是关键，属有一定难度题目．