Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e^x（x+1）给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=e^x（1-x）
②函数f（x）有2个零点
③f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：通过函数的奇偶性的定义求出函数的解析式，判断①的正误；通过分析出函数的零点的个数判断②的正误；直接求解不等式的解集判断③的正误；求出函数的最值判断④的正误．

解答： 解：设x＞0，则-x＜0，故f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x），
∴f（x）=e^-x（x-1），故①错；
∵f（x）定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，又x＜0时，f（-1）=0，
x＞0时，f（1）=0，故f（x）有3个零点，②错；
当x＜0时，令f（x）=e^x（x+1）＞0，解得-1＜x＜0，
当x＞0时，令f（x）=e^-x（-x+1）＞0．
解得x＞1，综上f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），③正确；
当x＜0时，f′（x）=e^x（x+2），f（x）在x=-2处取最小值为-

1

e2

，
当x＞0时，f′（x）=e^-x（-x+2），f（x）在x=2处取最大值为

1

e2

，
由此可知函数f（x）在定义域上的最小值为-

1

e2

，最大值为

1

e2

，而

1

e2

-(-

1

e2

)=

2

e2

＜2，
∴对任意的?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，④正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的零点的求法函数的导数求解函数的最值，不等式的解法，考查基本知识的综合应用．