Question

如图，矩形A_nB_nC_nD_n的一边A_nB_n在x轴上，另外两个顶点C_nD_n在函数f（x）=x+

1

x

（x＞0）的图象上．若点B_n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N⁺），记矩形A_nB_nC_nD_n的周长为a_n，数列{a_n}的前m（m∈N⁺）项和为S_m，则

lim

n→+∞

Sm

a 2 n

=

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算,数列的求和

专题：综合题

分析：先确定C_n的纵坐标，D_n的横坐标，从而求出矩形A_nB_nC_nD_n的周长，利用等差数列的求和公式，求出前n项和，再求极限．

解答： 解：由题意，∵C_n，D_n在函数f（x）=x+

1

x

（x＞0）的图象上．若点B_n的坐标为（n，0）（n≥2，n∈N⁺），
∴C_n的纵坐标为n+

1

n

，D_n的横坐标为

1

n

∴矩形A_nB_nC_nD_n的一条边长为n+

1

n

，另一条边长为n-

1

n

∴矩形A_nB_nC_nD_n的周长为a_n=2（n+

1

n

+n-

1

n

）=4n
∴数列{a_n}的前m（m∈N⁺）项和为S_m=4×2+4×3+…+4×m=4（2+3+…+m）=4×

(m-1)(m+2)

2

=2m²+2m-4
∴

lim

n→∞

Sm

an2

=

lim

n→∞

2n2+2n-4

(4n)2

=

lim

n→∞

（

1

8

+

1

8n

-

1

4n2

）=

1

8

；
故答案为：

1

8

．

点评：本题考查了等差数列的通项与求和公式以及分析解决问题的能力，解题时确定矩形A_nB_nC_nD_n的周长是关键．