Question

下列命题中，正确的是

 

（1）若

a

与

b

是共线向量，

b

与

c

是共线向量，则

a

与

c

是共线向量；
（2）已知

a

=（sinθ，

1+cosθ

，

b

=（1，

1-cosθ

），其中θ∈(π，

3π

2

），则

a

⊥

b

；
（3）函数f（x）=tan

x

2

与函数f（x）=

1-cosx

sinx

是同一函数；
（4）tan70°•cos10•（1-

3

tan20°）=1．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：（1）当

b

=

0

时，则

a

与

c

不一定是共线向量；
（2）由θ∈(π，

3π

2

），可得sinθ＜0．利用数量积和平方关系

a

•

b

=0，可得

a

⊥

b

；
（3）利用倍角公式可得：函数f（x）=

1-cosx

sinx

=tan

x

2

，其中x≠kπ，k∈Z．对于函数f（x）=tan

x

2

，再求出其定义域，比较即可得出．
（4）利用商数关系、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、诱导公式即可得出．

解答： 解：（1）当

b

=

0

时，则

a

与

c

不一定是共线向量；
（2）∵θ∈(π，

3π

2

），∴sinθ＜0．

a

•

b

=sinθ+

(1+cosθ)(1-cosθ)

=sinθ+|sinθ|=sinθ-sinθ=0，∴

a

⊥

b

，因此正确；
（3）函数f（x）=

1-cosx

sinx

=

2sin2 x 2

2sin x 2 cos x 2

=tan

x

2

，其中x≠kπ，k∈Z．
对于函数f（x）=tan

x

2

，其中

x

2

≠kπ+

π

2

（k∈Z），即x≠2kπ+π．
其定义域不同，因此不是同一函数；
（4）∵1-

3

tan20°=

cos20°- 3 sin20°

cos20°

=

2sin(30°-20°)

cos20°

=

2sin10°

cos20°

．
tan70°•cos10•（1-

3

tan20°）=

sin70°•2sin10°cos10°

cos70°cos20°

=

cos20°•sin20°

sin20°cos20°

=1，故正确．
综上可知：只有（2）（4）正确．
故答案为：（2）（4）．

点评：本题综合考查了向量的共线定理、数量积运算与垂直的关系、商数关系、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．