Question

函数f（x）=log_a|x+1|（a＞0，a≠1），当x∈（-1，0）时，恒有f（x）＞0，有（　　）

• A、0＜a＜1且f（x）在（-∞，-1）上是增函数
• B、0＜a＜1且f（x）在（-∞，-1）上是减函数
• C、a＞1且f（x）在（-1，+∞）上是增函数
• D、a＞1且f（x）在（-1，+∞）上是减函数

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据x的取值范围，结合对数函数的单调性，即可求出0＜a＜1，然后根据复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：设t=|x+1|，
则当x∈（-1，0）时，t=|x+1|=x+1，为增函数，
且t∈（0，1），
则y=log_at，
∵当x∈（-1，0）时，恒有f（x）＞0，
即在t∈（0，1），log_at＞0，
∴0＜a＜1，
∴此时y=log_at为减函数，
∴要使函数f（x）=log_a|x+1|为增函数，
则根据复合函数单调性之间的关系可知t=|x+1|为减函数，
∵t=|x+1|在（-∞，-1）上是减函数，
∴f（x）在（-∞，-1）上是增函数，
故选：A．

点评：本题主要考查复合函数单调性的判断和应用，根据条件结合对数函数的图象和性质求出a的取值范围是解决本题的关键．