Question

已知点P是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)右支上一点，F₁是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF₁的中垂线，则该双曲线的离心率是（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，△PF₁F₂是直角三角形，PF₂的斜率为-

b

a

，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则

m

n

=

b

a

，利用双曲线的定义，结合几何量之间的关系，即可得出结论．

解答： 解：由题意，△PF₁F₂是直角三角形，PF₂的斜率为-

b

a

，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则

m

n

=

b

a

，
∵m-n=2a，m²+n²=4c²，
∴m=2b，n=2a，
∵mn=2b²，
∴b=2a，
∴c=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，确定△PF₁F₂是直角三角形，PF₂的斜率为-

b

a

是关键．