Question

设集合P={x|x²-x-6＜0}，Q={2a≤x≤a+3}．
（1）若P∪Q=P，求实数a的取值范围；
（2）若P∩Q=∅，求实数a的取值范围；
（3）若P∩Q={x|0≤x＜3}，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,集合关系中的参数取值问题

专题：集合

分析：（1）首先，化简集合P，然后，结合条件P∪Q=P，分为Q=∅和Q≠∅两种情形进行讨论，求解实数a的取值范围；
（2）分为Q=∅和Q≠∅两种情形进行讨论，然后，得到实数a的取值范围；
（3）利用两个集合交集的概念直接求解即可．

解答： 解：（1）由集合P得：
P={x|-2＜x＜3}，
下面分为Q=∅和Q≠∅两种情形进行讨论：
当Q=∅时：2a＞a+3，∴a＞3
当Q≠∅时：∵P∪Q=P
∴

2a＞-2 a+3＜3

，∴

a＞-1 a＜0

，∴-1＜a＜0，
∴实数a的取值范围为（-1，0）∪（3，+∞）；
（2）∵P∩Q=∅，
下面分为Q=∅和Q≠∅两种情形进行讨论：
当Q=∅时：
此时2a＞a+3，∴a＞3
当Q≠∅时：∵P∩Q=∅，∴a+3≤-2或2a≥3，
∴a≤-5或a≥

3

2

，
∴a∈(-∞，-5]∪[

3

2

，+∞)．
（3）∵P∩Q={x|0≤x＜3}，
∴2a=0，a+3≥3
∴a=0

点评：本题重点考查集合之间的关系，抓住集合的元素之间的关系是解题的关键，属于中档题．