Question

设x+y+z=0，求证：6（x³+y³+z³）²≤（x²+y²+z²）³．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,综合法

分析：根据x+y+z=0，可得z=-（x+y），分别代入化简，结合基本不等式，即可得出结论．

解答： 证明：∵x+y+z=0，∴z=-（x+y），
∴左式=6[x³+y³-（x+y）³]²=6（3x²y+3xy²）²=54x²y²（x+y）²=27（2x²）（xy+y²）（xy+y²）
右式=[x²+y²+（x+y）²]³=（2x²+xy+y²+xy+y²）³，
∴利用基本不等式，可得（2x²+xy+y²+xy+y²）³=[（2x²）+（xy+y²）+（xy+y²）]³≥27（2x²）（xy+y²）（xy+y²），
∴右式≥左式，
∴6（x³+y³+z³）²≤（x²+y²+z²）³．

点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．