Question

已知圆心为C的圆经过点A（-1，1）和B（-2，-2），且圆心在直线l：x+y-1=0上．
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）设点P在圆C上，点Q在直线x-y+5=0上，求PQ的最小值；
（3）若直线kx-y+5=0被圆C所截得弦长为8，求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，得到圆心坐标为（a，b），半径为r，将A与B坐标代入圆方程，消去r得到关于a与b的方程，再将圆心坐标代入x+y-1=0中得到关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出r的值，即可确定出圆的方程．
（2）由题意求出圆心到直线的距离，减去圆的半径即可得到|PQ|的最小值．
（3）由圆的半径，弦长，利用垂径定理及勾股定理求出弦心距d的值，再由圆心C坐标和直线kx-y+5=0，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答： （1）解：设圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，得到圆心坐标为（a，b），半径为r，
将A与B坐标代入圆方程得：（-1-a）²+（1-b）²=r²，（-2-a）²+（-2-b）²=r²，
消去r，整理得：a+3b+3=0①，
将圆心坐标代入x+y-1=0得：a+b-1=0②，
联立①②解得：a=3，b=-2，r²=（-1-3）²+（1+2）²=25，
则圆C的标准方程为（x-3）²+（y+2）²=25．
（2）解：由于圆C：（x-3）²+（y+2）²=25，
则C（3，-2），半径r为：5，
由于C（3，-2）到直线l：x-y+5=0的距离为：

|3+2+5|

2

=5

2

，
故|PQ|的最小值是：5

2

-5．
（3）解：∵圆C半径为5，弦长为8，
∴圆心到直线kx-y+5=0的距离d=

52-42

=3，即

|3k+7|

k2+1

=3，
解得：k=-

20

21

．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：二元一次方程组的解法，以及圆的标准方程，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．