Question

已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域；
（3）是否存在实数t，若对任意的x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[t，t+1]使得g（x₁）=f（x₂）-3成立，若存在求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（a+2）=18列出关于a的方程，即可求出a；
（2）根据指数函数的图象和性质，利用换元法将函数转化为二次函数即可求函数的值域；
（3）根据条件先求出g（x₁）的取值范围，利用指数函数的单调性建立方程即可求出t的值．

解答： 解：（1）由f（a+2）=18，得3^a+2=18，
即3^a=2，
∴a=log₃2，
∵g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x，
∴g（x）=(3log?32)x-4^x=2^x-4^x．
（2）∵g（x）=2^x-4^x=2x-(2x)2=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，
∴当x∈[0，1]时，2^x∈[1，2]，
∴设t=2^x∈[1，2]，
则函数g（x）等价为y=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
-2≤y≤0，
即g（x）的值域为[-2，0]．
（3）当x∈[0，1]，由（2）知g（x）的值域为[-2，0]．
若任意的x₁∈[0，1]，g（x₁）∈[-2，0]．
∴由得g（x₁）=f（x₂）-3成立，
即得g（x₁）+3=f（x₂）成立，
∴g（x₁）+3∈[1，3]．
若存在x₂∈[t，t+1]使得g（x₁）=f（x₂）-3成立，
则

3t=1 3t+1=3

，
即t=0，
故存在t=0，满足条件．

点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，以及方程恒成立问题，综合性较强，涉及的知识点较多．