Question

抛物线y=x²（-3≤x≤3）绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是

 

．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由题意画出过正方体的两条相对侧棱的截面图，设出正方体的棱长，然后利用A点的纵坐标相等列式求解a的值．

解答： 解：作过正方体的两条相对侧棱的截面图如图，
设正方体AC₁的棱长AB=a，则底面对角线AD=

2

a，
所以A点的横坐标等于

2 a

2

，代入抛物线y=x²得：y=（

2 a

2

）²=

a2

2

，
即A点纵坐标为

a2

2

．A点（

2 a

2

，

a2

2

），
又由题意可知B（

2 a

2

，9）
∵|AB|=a，∴

a2

2

+a=9，解得a=-1±

19

，
∵a＞0，∴a=

19

-1
所以正方体的棱长是

19

-1．
故答案为：

19

-1．

点评：本题考查了抛物线的应用，考查了数形结合的解题思想和数学转化思想，能够正确作出该题的截面图是解答该题的关键，属中档题．