Question

已知函数f(x)=πsin

1

4

x，如果存在实数x₁，x₂，使x∈R时，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，则|x₁-x₂|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：依题意知，f（x₁）和f（x₂）分别是函数f（x）=πsin

1

4

x的最大值和最小值，于是知|x₁-x₂|的最小值为函数的半个周期，从而可得答案．

解答： 解：∵对任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴f（x₁）和f（x₂）分别是函数f（x）=πsin

1

4

x的最大值和最小值，
∴|x₁-x₂|的最小值为函数的半个周期，
∵T=

2π

1 4

=8π，
∴|x₁-x₂|的最小值为4π，
故答案为4π．

点评：本题考查函数恒成立问题，理解“|x₁-x₂|的最小值为函数的半个周期”是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．