Question

已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=-x²+2ax+1+a²，g(x)=x-

1

4

+

2-x

，
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于?x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据二次函数的图象和性质，即可求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于?x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）＞g（x₂）恒成立，转化为求两个函数是最值即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-x²+2ax+1+a²，
∴函数的对称轴为x=a，则区间[0，2]的中点为x=1，
当a≤1时，函数f（x）的最小值为f（2）=a²+4a-3；
当a＞1时，函数f（x）的最小值为f（0）=1+a²；
综上函数f（x）的最小值为f（x）_min=

a2+4a-3，a≤1 1+a2，a＞1

．
（Ⅱ）设t=

2-x

，则0≤t≤

2

，
则x=2-t²，
∴g（x）=m（t）=-t²+t+

7

4

，
则对称轴为t=

1

2

，
∴g（x）_max=2，
要使f（x₁）＞g（x₂）恒成立，只要f（x）_min＞g（x）_max即可，
∴当a≤1时，f(x)min=a2+4a-3＞2，
解得：a＜-5，
当a＞1时，f(x)min=1+a2＞2
解得：a＞1，
综上所述，a∈（-∞，-5）∪（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数恒成立问题，利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，考查学生的计算能力．