Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数
（1）求a的值
（2）讨论关于x的方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m的根的函数
（3）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：

分析：（1）直接根据函数f（x）=ln（e^x+a）是实数集R上的奇函数，则f（0）=0，即可求出a的取值；
（2）构造两个函数f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，将方程有根的问题转化为函数有交点的问题进行研究．
（3）先利用函数g（x）在[-1，1]上单调递减，求出其最大值，再把g（x）＜t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立转化为其最大值小于等于t²-λt+1恒成立，进而得到（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用二次函数恒成立问题的解法即可求t出的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ln（e^x+a）是实数集R上的奇函数，
∴f（0）=0，即ln（1+a）=0，
∴a=0．
（2）当a=0时，f（x）=ln（e^x+a）=f（x）=lne^x=x，
由程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m得

ln?x

x

=x2-2ex+m，
令f₁（x）=

ln?x

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，
∵f′₁（x）=

1-lnx

x2

，
当x∈（0，e）时，f′₁（x）＞0，
∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，f′₁（x）＜0，
∴f₁（x）在（e，+∞）上为减函数；
∴当x=e时，[f₁（x）]_max=f₁（e）=

1

e

．
而f₂（x）=（x-e）²+m-e²，
∴当m-e²＞

1

e

时，即m＞e²+

1

e

时方程无解．
当m-e²=

1

e

时，即m=e²+

1

e

时方程有一解．
当m-e²＜

1

e

时，即m＜e²+

1

e

时方程有两解．
（3）由题意可得：g（x）=λx+sinx，
∴g'（x）=λ+cosx，由函数的单调性转化为：g'（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，
进而得到λ≤-1，g（x）_max=-λ-sin1，
再转化为-λ-sin1＜t²+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立．
∴（t+1）λ+t²+sin1+1＞0在λ∈（-∞，-1]上恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1，（λ≤-1）
则

t+1＜0 -t-1+t2+sin1+1＞0

，
∴

t+1＜0 t2-t+sin1＞0

，
而t＜-1时，t²-t+sin1＞0恒成立，
经检验t=-1也对，
∴t≤-1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，将不等式恒成立问题，转化为求函数最值问题，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．