Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为B点，且AB=AC=A₁B=2．
（Ⅰ）分别求出AA₁与底面ABC，棱BC所成的角；
（Ⅱ）在棱B₁C₁上确定一点P，使，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）确定∠A₁AB就是AA₁与底面ABC所成的角，即可求出AA₁与底面ABC所成的角，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，可求AA₁与棱BC所成的角；
（Ⅱ）确定P为棱B₁C₁的中点，求出平面P-AB-A₁的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）因为A₁在底面ABC上的射影恰为B点，所以A₁B⊥底面ABC．
所以∠A₁AB就是AA₁与底面ABC所成的角．
因AB=A₁B=2，A₁B⊥AB，故 ，
即AA₁与底面ABC所成的角是．…（3分）
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），，．
则，
故AA₁与棱BC所成的角是．…（7分）
（Ⅱ）设，则P（2λ，4-2λ，2）．
于是（舍去），
则P为棱B₁C₁的中点，其坐标为P（1，3，2）．…（9分）
设平面P-AB-A₁的法向量为，则，
故．…（11分）
而平面ABA₁的法向量是，
则，
故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是．…（14分）
点评：本题考查空间角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量，利用向量的夹角公式是关键．