Question

20．已知函数f（x）=e^x-m-$\sqrt{x}$（x≥0）．
（1）当f（x）≥0恒成立时，求实数m的取值范围；
（2）当m≤2时，求证：f（x）＞ln$\frac{1}{2e}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x-m≥ln$\sqrt{x}$，即m≤x-$\frac{1}{2}$lnx，令g（x）=x-$\frac{1}{2}$lnx，求出导数，求得单调区间可得最小值，进而得到m的范围；
（2）x∈（0，+∞）时，e^x-m≥e^x-2≥x-1恒成立，要证f（x）＞ln$\frac{1}{2e}$，只要证x-1＞$\sqrt{x}$+ln$\frac{1}{2e}$，运用配方和二次函数的值域求法，即可得证．

解答 解：（1）f（x）≥0恒成立即为e^x-m≥$\sqrt{x}$，
即有x-m≥ln$\sqrt{x}$，即m≤x-$\frac{1}{2}$lnx，
令g（x）=x-$\frac{1}{2}$lnx，g′（x）=1-$\frac{1}{2x}$，
当x＞$\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，g（x）递减．
则x=$\frac{1}{2}$处取得最小值，且为$\frac{1}{2}$（1+ln2），
即有m≤$\frac{1}{2}$（1+ln2）；
（2）证明：由e^x-（x+1）的导数为e^x-1，当x＞0时，e^x＞1，
当x＜0时，e^x＜1，即有x=0时，取得最小值0，
即有e^x≥x+1，
即有当m≤2时，x∈（0，+∞）时，
e^x-m≥e^x-2≥x-1恒成立，
要证f（x）＞ln$\frac{1}{2e}$，只要证x-1＞$\sqrt{x}$+ln$\frac{1}{2e}$，
而x-1-$\sqrt{x}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$≥-$\frac{5}{4}$，
当x=$\frac{1}{4}$时，取得最小值-$\frac{5}{4}$，
-$\frac{5}{4}$＞-ln（2e），
故x-1＞$\sqrt{x}$+ln$\frac{1}{2e}$成立，
即有f（x）＞ln$\frac{1}{2e}$成立．

点评 本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用参数分离，同时考查不等式的证明，注意运用已知不等式和分析法证明，属于中档题．