Question

【题目】已知，函数.

（1）若有极小值且极小值为0，求的值；

（2）当时，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）讨论a的范围，判断f（x）的单调性，得出f（x）的极小值，从而列方程解出a的值；

（2）等价于，即，讨论a的范围，转化为新函数的最值问题即可.

（1）

①若，则由解得，

当时，，递减；当时，，递增；

故当时，取极小值，令，得（舍去）

若，则由，解得

（i）若，即时，当，，递增；

当,，递增；故当当时，取极小值，

令，得（舍去）

（ii）若，即时，，递增不存在极值；

（iii）若，即时，当时，，递增；当时，，递减；当时，，递增；

故当时，取极小值，得满足条件

故当有极小值且极小值为0时，.

（2）等价于，即（*）

当时，①式恒成立；当时，，故当时，①式恒成立；

以下求当时，不等式恒成立，且当时不等式恒成立时正数的取值范围

令，以下求当，恒成立，且当，恒成立时正数的取值范围

对求导，得，记

（i）当时，，，

故在上递增，又，故，，

即当时，（*）式恒成立；

（ii）当时，，故的两个零点即的两个零点和，在区间上，，是减函数，

又，所以，当时①式不能恒成立.

综上所述，所求的取值范围是.