Question

17．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF₂垂直x轴，则双曲线的离心率为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．

解答 解：将x=c代入双曲线的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）得y=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）．
在△MF₁F₂中tan45°=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}$=1
即$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2ac}=1$，解得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案为：$\sqrt{2}$+1

点评 本题考查双曲线离心率的计算，根据双曲线中三参数的关系：c²=a²+b²，建立方程关系是解决本题的关键．