Question

13．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（　　）

• A． a+b≥2$\sqrt{ab}$
• B． a²+b²＞2ab
• C． $\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2
• D． |${\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}}$|≥2

Answer 1

分析 由a，b＜0，可判断A不恒成立；由a=b，可判断B不恒成立；
由ab＜0，可判断C不恒成立；运用绝对值的性质和基本不等式，即可得到D恒成立．

解答 解：对于A，若a，b＜0，a+b≥2$\sqrt{ab}$不成立；当a，b＞0，不等式成立，且a=b时取等号．故A不恒成立；
对于B，若a=b，则a²+b²=2ab，若a≠b，a²+b²＞2ab成立．故B不恒成立；
对于C，若ab＜0，则$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$＜2；若ab＞0，则$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2成立．故C不恒成立；
对于D，|${\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}}$|=|$\frac{a}{b}$|+|$\frac{b}{a}$|≥2恒成立，且|a|=|b|时取得等号．
故选：D．

点评 本题考查基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查重要不等式a²+b²≥2ab，属于基础题．