Question

3．已知a＞0，且a≠1，命题p：函数y=log_a（x+1）在x∈（0，+∞）上单调递减，命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．若“p∨q”为假，则a的取值范围为（　　）

• A． （1，$\frac{5}{2}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$]∪（1，$\frac{5}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）
• D． [$\frac{1}{2}$，1）∪[$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 当p为真命题时，根据对数型函数单调性的规律得到0＜a＜1；根据一元二次方程根的判别式，得到当q为真命题时，0＜a＜$\frac{1}{2}$或a＞$\frac{5}{2}$，因为“P∨Q”为假，说明命题p、q都为假，可得a的取值范围．

解答 解：先看命题p：
∵函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）内单调递减，a＞0，a≠1，
∴命题P为真时?0＜a＜1，
再看命题q：
当命题q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足：
△=（2a-3）²-4＞0⇒0＜a＜$\frac{1}{2}$或a＞$\frac{5}{2}$，
由“p∨q”为假，知p、q都为假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：1＜a≤$\frac{5}{2}$
故选：A．

点评 本题以函数的单调性和二次函数零点的问题为载体，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题．