Question

13．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为1，$\sqrt{2}$，则顶点D到平面α的距离是$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 本题的条件正规，但位置不正规．牵涉到的知识虽然只有线面距离和线面角，但难于下手．出路何在？在正方体的8个顶点中，有关系的只有4个（其他顶点可不予理会）．这4点组成直角四面体，这就是本题的根．所以最终归结为：已知直角四面体的3个顶点A，B，C到平面M的距离依次为0，1，$\sqrt{2}$，求顶点D到平面M的距离．

解答 解：如图，连结BC、CD、BD，则四面体A-BCD为直角四面体．作平面M的法线AH，再作，BB₁⊥平面M于B₁，CC₁⊥平面M于C₁，DD₁⊥平面M于D₁．
连结AB₁，AC₁，AD₁，令AH=h，DA=a，DB=b，DC=c，
由等体积可得$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$，
∴$\frac{{h}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{h}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{h}^{2}}{{c}^{2}}$=1
令∠BAB₁=α，∠CAC₁=β，∠DAD₁=γ，
可得sin²α+sin²β+sin²γ=1，
设DD₁=m，∵BB₁=1，CC₁=$\sqrt{2}$，
∴$（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}$=1
解得m=$\sqrt{6}$．即所求点D到平面α的距离为$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查点D到平面α的距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，难度大．