Question

17．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）用“五点法”作出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（Ⅱ）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；
（Ⅲ）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．

Answer 1

分析 （1）根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．
（2）根据函数的对称性以及函数的单调性即可得到结论．
（3）根据函数最值的性质解方程即可．

解答 解：（1）列表：

x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
2x+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	1	0	-1	0

描点、连线如图所示：

（2）解：令2x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
解得：x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z，
则函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象的对称中心的坐标是（$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$，0）k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，从而可求得 f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（3）由2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$即x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z时，函数f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查三角函数的图象的作法，考查了正弦函数的对称性，单调性，利用五点法是解决三角函数图象的基本方法．