Question

6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+4）=f（x）+f（2），且对任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立．现给出下列命题：①f（2）=0；②函数f（x）的图象关于点（2，0）成对称中心；③函数f（x）在（-4，0）上单调递减；④函数f（x）在（-6，6）上有3个零点．
其中正确命题的序号是①②③（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 利用函数满足的性质，分析4个命题，即可得出结论．

解答 解：①x=-2，可得f（2）=f（-2）+f（2），∴f（2）=0，正确；
②f（x+4）=-f（-x），∴f（x+4）+f（-x）=0，∴函数f（x）的图象关于点（2，0）成对称中心，正确；
③对任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，∴函数f（x）在（0，2）上单调递减，
∵函数f（x）的图象关于点（2，0）成对称中心，∴函数f（x）在（0，4）上单调递减，
∴函数f（x）在（-4，0）上单调递减，正确；
④函数f（x）在（-6，6）上有3个零点，即-4，-2，0，2，4，不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查新定义，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．