【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若恒成立,试确定实数
的取值范围;
(3)证明.
【答案】(1)函数的递增区间为
,函数
的递减区间为
;(2)
;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)先求导数,再确定导函数在定义区间上零点情况:当k≤0时,导函数恒大于零,为增函数;当k>0时,由一个零点x=
,先减后增(2)不等式恒成立问题,一般转化Wie对应函数最值问题,即
,结合(1)的单调性情况,可得k>0且f(
)=ln
≤0解得k≥1,(3)利用导数证明不等式,一般方法为构造恰当函数,利用其增减性进行证明:因为k=1时,f(x)≤0恒成立,即ln(x﹣1)<x﹣2,令
,则
,代入叠加得证
试题解析:(I)∵f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1,(x>1)
∴f′(x)=﹣k,
当k≤0时,f′(x)>0恒成立,故函数在(1,+∞)为增函数,
当k>0时,令f′(x)=0,得x=
当f′(x)<0,即1<x<时,函数为减函数,
当f′(x)>0,即x>时,函数为增函数,
综上所述,当k≤0时,函数f(x)在(1,+∞)为增函数,
当k>0时,函数f(x)在(1,)为减函数,在(
,+∞)为增函数.
(Ⅱ)由(1)知,当k≤0时,f′(x)>0函数f(x)在定义域内单调递增,f(x)≤0不恒成立,
当k>0时,函数f(x)在(1,)为减函数,在(
,+∞)为增函数.
当x=时,f(x)取最大值,f(
)=ln
≤0
∴k≥1,即实数k的取值范围为[1,+∞)
(Ⅲ)由(2)知k=1时,f(x)≤0恒成立,即ln(x﹣1)<x﹣2
∴<1﹣
,
∵=
=
<
=
取x=3,4,5…n,n+1累加得
∴+…+
<
+
+
+…+
=
,(n∈N,n>1).
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【题目】已知等差数列的公差
大于0,且
,
是方程
的两根,数列
的前
项和为
,且
.
(1)求数列、
的通项公式;
(2)设数列的前
项和为
,试比较
与
的大小,并用数学归纳法给予证明.
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【题目】已知函数.
(1)如图,设直线将坐标平面分成
四个区域(不含边界),若函数
的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的
的取值范围;
(2)当时,求证:
且
,有
.
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【题目】在一次猜灯谜活动中,共有20道灯谜,两名同学独立竞猜,甲同学猜对了12个,乙同学猜对了8个,假设猜对每道灯谜都是等可能的,试求:
(1)任选一道灯谜,恰有一个人猜对的概率;
(2)任选一道灯谜,甲、乙都没有猜对的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数且
)曲线
的参数方程为
(
为参数,且
),以
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为:
,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求与
的交点到极点的距离;
(2)设与
交于
点,
与
交于
点,当
在
上变化时,求
的最大值.
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【题目】由于疫情影响,今年我们学校开展线上教学,高一年级某班班主任为了了解学生上网学习时间,对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查,将数据(取整数)整理后,绘制出如图所示频率分布直方图,已知从左到右各个小组的频率分别是0.15,0.25,0.35,0.20,0.05,则根据直方图所提供的信息.
(1)这一天上网学习时间在分钟之间的学生有多少人?
(2)这40位同学的线上平均学习时间是多少?
(3)如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间,这样推断是否合理?为什么?
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【题目】为了了解校园噪音情况,学校环保协会对校园噪音值(单位:分贝)进行了天的监测,得到如下统计表:
噪音值(单位:分贝) | ||||||
频数 |
(1)根据该统计表,求这天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组组间的中点值作代表).
(2)根据国家声环境质量标准:“环境噪音值超过分贝,视为重度噪音污染;环境噪音值不超过
分贝,视为度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率,回答下列问题:
(i)求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.
(ii)学校要举行为期天的“汉字听写大赛”校园选拔赛,把这
天校园出现的重度噪音污染天数记为
,求
的分布列和方差
.
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【题目】下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0B.1C.2D.3
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【题目】已知函数的一系列对应值如下表:
(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式;
(2)根据(1)的结果,若函数周期为
,当
时,方程
恰有两个不同的解,求实数
的取值范围.
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