Question

18．方程f（x）=x的解称为函数f（x）的不动点，若f（x）=$\frac{ax}{x+1}$有唯一不动点，且数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$），则a₂₀₁₇=2017．

Answer 1

分析 由题意可知：x²-（a-1）x=0，则f（x）=$\frac{ax}{x+1}$有唯一不动点，求得a的值，由$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$），整理得a_n+1=a_n+1，根据等差数列的性质即可求得a₂₀₁₇．

解答 解：由题意可知：$\frac{ax}{x+1}$=x，即x²-（a-1）x=0，
由f（x）=$\frac{ax}{x+1}$有唯一不动点，则a-1=0，即a=1，
f（x）=$\frac{x}{x+1}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$），整理得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴a_n+1=a_n+1，
则a_n+1-a_n=1，数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
a₂₀₁₇=a₁+（n-1）d=2017，
故答案为：2017．

点评 本题考查函数的不动点的定义，考查等差数列的性质及通项公式，考查计算能力，属于中档题．