Question

10．若a和b是计算机在区间（0，3）上产生的随机数，那么函数f（x）=lg（ax²+4x+4b） 的值域为R的概率为$\frac{1+2ln3}{9}$．

Answer 1

分析 运用函数f（x）=lg（ax²+4x+4b）的值域为R（实数集），求出a，b的范围，再由几何概概型的概率公式，即可得到．

解答 解：由已知，a和b是计算机在区间（0，3）上产生的随机数，对应区域的面积为4，
因为函数f（x）=lg（ax²+4x+4b）的值域为R（实数集），所以（ax²+4x+4b）能取得所有的正数，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-16ab≥0}\end{array}\right.$，解得ab≤1且a＞0，
对应的区域面积为
9-${∫}_{\frac{1}{3}}^{3}$（3-$\frac{1}{a}$）da=9-（3a-lna）|${\;}_{\frac{1}{3}}^{3}$=1+2ln3；
由几何概型的公式得：$\frac{1+2ln3}{9}$
故答案为：$\frac{1+2ln3}{9}$

点评 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，3）上产生两个随机数a和b所对就图形的面积，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．