Question

5．已知函数f（x）=e^x-a+lnx．
（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞1时，f（x）＞2x-1；
（Ⅱ）若存在x₀≥e，使f（x₀）＜2lnx₀，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1时，化简求出导数，设$g（x）={e^{x-1}}+lnx-2x+1，g'（x）={e^{x-1}}+\frac{1}{x}-2$，然后求解二次导数，求出导函数的最值，然后证明结论．
（Ⅱ）若存在x₀≥e，使f（x₀）＜2lnx₀，即${e^{{x_0}-a}}＜ln{x_0}$，即存在x₀≥e，使${e^a}＞\frac{{{e^{x_0}}}}{{ln{x_0}}}$．设$h（x）=\frac{e^x}{lnx}$（x≥e），求出导函数，设$u=lnx-\frac{1}{x}，u'=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}＞0$，通过函数的单调性求解函数的最值，推出结果．

解答 解：（Ⅰ）证明：a=1时，$f（x）={e^{x-1}}+lnx，f'（x）={e^{x-1}}+\frac{1}{x}$，
设$g（x）={e^{x-1}}+lnx-2x+1，g'（x）={e^{x-1}}+\frac{1}{x}-2$$g''（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x^2}，x＞1，{e^{x-1}}＞1，0＜\frac{1}{x^2}＜1，g''（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x^2}＞0$，g'（x）在（1，+∞）递增，又g'（1）=0，∴x＞1时g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，
x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即e^x+lnx-2x+1＞0，
x＞1时，e^x+lnx＞2x-1，即f（x）＞2x-1…．（6分）
（2）若存在x₀≥e，使f（x₀）＜2lnx₀，即${e^{{x_0}-a}}＜ln{x_0}$
即存在x₀≥e，使${e^a}＞\frac{{{e^{x_0}}}}{{ln{x_0}}}$．
设$h（x）=\frac{e^x}{lnx}$（x≥e），则$h'（x）=\frac{e^x}{{{{ln}^2}x}}（lnx-\frac{1}{x}）$，
设$u=lnx-\frac{1}{x}，u'=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}＞0$，$u=lnx-\frac{1}{x}$在[e，+∞）递增，
$x=e时，u=1-\frac{1}{e}＞0$，所以u＞0在[e，+∞）恒成立，h'（x）＞0在[e，+∞）恒成立，
所以h（x）在[e，+∞）递增，所以x≥e时，$h{（x）_{min}}=h（e）={e^e}$，
需e^a＞e^e⇒a＞e…．（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及导函数的导数的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力．