Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1（a＞b＞0）的右顶点为（2，0），离心率为，P是直线x＝4上任一点，过点M（1，0）且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若P点的坐标为（4，3），求弦AB的长度；

（3）设直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数λ，使得k1+k3＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，λ＝2，计算见解析

【解析】

(1)根据题意可知，再由离心率公式可得，然后根据得出，即可得椭圆的方程；

(2)根据 点的坐标写出直线方程，与椭圆联立解得坐标，利用两点间距离公式即可求得弦的长度；

(3)先假设存在，后分直线斜率存在和不存在两种情况进行求解，直线斜率不存在时容易的,直线斜率存在时，设点坐标，与椭圆联立，再分别求出，进行化简整理即可得到的值.

（1）由题知，，

，，

∴椭圆方程为．

（2），

，

∵直线与直线垂直，

∴，

∴直线方程，即，

联立，得

或,

，，

．

（3）假设存在常数，使得．

当直线的斜率不存在时，其方程为，代入椭圆方程得，，此时，易得,

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，

代入椭圆方程得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，

，，

直线方程为，则

,

,

,

,

，

即，

化简得：，

将，，，，代入并化简得：

．

综上：．