Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁CC₁⊥侧面ABB₁A₁，侧面ABB₁A₁的面积为，CA=CA₁=AB=BB₁=1，∠ABB₁为锐角
（1）求证：CB₁⊥AA₁；
（2）求二面角C-BB₁-A的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由棱柱的几何特征及CA=CA₁=AB=BB₁=1可得棱柱的侧面均为菱形，又由侧面ABB₁A₁的面积为，∠ABB₁为锐角，可得到△ABB₁，△AB₁A₁，△CAA₁均为边长为1的等边三角形，根据等边三角形三线合一及线面垂直的性质，由侧面AA₁CC₁⊥侧面ABB₁A₁可得到CO⊥平面ABB₁A₁，进而由三垂线定理得到CB₁⊥AA₁；
（2）由（1）的结论可得AA₁⊥平面CB₁O，BB₁⊥平面CB₁O，即∠CB₁O是二面角C-BB₁-A的平面角，解△CB₁O可得二面角C-BB₁-A的大小．
解答：解：（1）∵CA=CA₁=AB=BB₁=1，
∴ABB₁A₁，ABB₁A₁都是菱形，
∵面积=1×1×sinB=，又∠ABB₁为锐角，
∴∠ABB₁=60°，
∴△ABB₁，△AB₁A₁，△CAA₁均为边长为1的等边三角形．        …（3分）
∵侧面AA₁CC₁⊥侧面ABB₁A₁，
设O为AA₁的中点，则CO⊥平面ABB₁A₁，
又OB₁⊥AA₁，
∴由三垂线定理可得CB₁⊥AA₁． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AA₁⊥平面CB₁O（如图），
∴BB₁⊥平面CB₁O，
∴∠CB₁O是二面角C-BB₁-A的平面角，…（9分）
∴tan∠CB₁O==1，
∴二面角C-BB₁-A的大小为45°．             …（12分）
点评：本题考查的知识点是二面角的平面 角及法，直线与平面垂直的性质，其中求二面角的关键在于构造出二面角的平面角．