Question

16．已知点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上．
（1）求实数b的值；
（2）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上，可得：点（99，2）在函数f（x）=lg（x+b）的图象上，代入构造关于b的方程，解得实数b的值；
（2）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，则$\left\{\begin{array}{l}1-2x＞-1\\ x＞-1\\ 1＜\frac{2-2x}{x+1}＜10\end{array}\right.$，解得x的取值范围．

解答 解：（1）∵点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上，
∴点（99，2）在函数f（x）=lg（x+b）的图象上，
即lg（99+b）=2，即99+b=100，
解得：b=1；
（2）由（1）得f（x）=lg（x+1），x＞-1，
则0＜f（1-2x）-f（x）＜1可化为：
0＜$lg\frac{2-2x}{x+1}$＜1，
即$\left\{\begin{array}{l}1-2x＞-1\\ x＞-1\\ 1＜\frac{2-2x}{x+1}＜10\end{array}\right.$，
解得：x∈（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
即x的取值范围为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）

点评 本题考查反函数，解题关键是掌握住反函数的定义，由定义求出反函数的解析式，本题有一易漏点，即忘记求出函数的定义域，对于求函数的解析式的题，一般要求出函数的定义域．