Question

已知函数f(x)=Asin(

π

3

x+ϕ)（A＞0，x∈R，0＜ϕ＜

π

2

）．y=f（x）的部分图象如图所示，点P（1，A）为图象的最高点．
（1）求f（x）的最小正周期及ϕ的值；
（2）若A=

2

，且g（x）=1-f²（x）（x∈R），求当x取什么值（用集合表示）时，函数g（x）有最大值和函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期公式可得周期T=

2π

π 3

=6，集合点P（1，A）在曲线上，可得φ的方程，结合φ的范围可得；
（2）由A=

2

得f(x)=

2

sin(

π

3

x+

π

6

)，代入化简可得g（x）的解析式，可得单调区间和最值．

解答： 解：（1）由题意可得f（x）的最小正周期T=

2π

π 3

=6
又点P（1，A）在曲线上，∴A=Asin(

π

3

+ϕ)，即sin(

π

3

+ϕ)=1，
∴

π

3

+ϕ=2kπ+

π

2

，∴ϕ=2kπ+

π

6

，
解得0＜ϕ＜

π

2

，∴ϕ=

π

6

（2）由A=

2

得f(x)=

2

sin(

π

3

x+

π

6

)，
∴g(x)=1-f2(x)=1-2sin2(

π

3

x+

π

6

)=cos(

2π

3

x+

π

3

)
当

2π

3

x+

π

3

=2kπ时，即x=3k-

1

2

，k∈z时，函数g（x）有最大值1．
由2kπ-π≤

2π

3

x+

π

3

≤2kπ得3k-2≤x≤3k-

1

2

，
∴当3k-2≤x≤3k-

1

2

，k∈z时，y=cos(

2π

3

x+

π

3

)单调递增，
∴当x∈{x|x=3k-

1

2

，k∈Z}函数g（x）有最大值．
函数g（x）的单调增区间为[3k-2，3k-

1

2

]

k∈Z

点评：本题考查由三角函数的图象得其解析式，涉及三角函数的单调性和最值，属中档题．